Kropki z pętelką

Specyficzną miarą atrakcyjności łamigłówki, będącej od dłuższego czasu w obiegu, jest liczba jej nazw i odmian

Są to także – ale tylko do pewnego stopnia – wyznaczniki jej popularności. Na podbój świata, który zdarza się mniej więcej raz na kilkadziesiąt lat, łamigłówka ma szanse wyłącznie pod jedną nazwą (uwzględniając ewentualne tłumaczenia, jak w przypadku krzyżówki), co wiąże się oczywiście z aspektem komercyjnym. Gdy pod koniec roku 2004 zaczęła się moda na sudoku, nikt nie próbował publikować tych zadań pod inną nazwą, bo po prostu by na tym nie zarobił.

Żadna z przeszczepianych później z Japonii łamigłówek nie spopularyzowała się na świecie nawet w małej części tak, jak sudoku, a tym bardziej nie weszła na stałe do repertuaru popularnych rozrywek umysłowych. I nic dziwnego – nie było już efektu nowości i zaskoczenia, co w masowej skali ma decydujące znaczenie. Kierując się jednak podanym na wstępie kryterium, czyli liczbą nazw i odmian, a także częstością występowania w publikacjach specjalistycznych i w Internecie, można wybrać spośród łamigłówek z japońskim rodowodem kilka najciekawszych. Bez wątpienia byłaby wśród nich pokropka.

Organizując przed laty turnieje łamigłówkowe lub publikując zbiorki zadań, kilkakrotnie prosiłem rozwiązujących o wskazanie ich zdaniem najciekawszej łamigłówki. Pokropka zawsze trafiała do pierwszej trójki, a często przodowała – przede wszystkim ze względu na oryginalny, prosty pomysł i przejrzyste reguły oraz równie klarowną, co nie znaczy prostą, logikę (ciekawe, że nikt nigdy nie typował sudoku). Zapewne istotne było także to, że wówczas, czyli na początku XXI wieku, łamigłowka dopiero u nas raczkowała. W Japonii zamieszczono ją po raz pierwszy w 1989 roku w jednym z pism łamigłówkowych pod nazwą suriza rinku, czyli „ślizgające się łącze”. Wydawca szybko zorientował się, że trafił w dziesiątkę i natychmiast zaczął lansować nowość w swoim kraju, zastrzegając nazwę, a na wszelki wypadek także jej angielski odpowiednik – slitherlink.

W praktyce na niewiele to się zdało, bo zasad zastrzec nie można, więc już w Japonii pojawiło się sporo kopii pod innymi nazwami. Na wielki świat pokropka wychynęła dopiero po dziewięciu latach i to trochę przypadkowo. W roku 1998 w Stambule odbywały się 7. Łamigłówkowe Mistrzostwa Świata, ale Turcy nie czuli się dostatecznie silni merytorycznie, więc zadania na imprezę przygotowali Japończycy. Zaskoczyli wszystkich oryginalnością propozycji, wśród których znalazła się także pokropka pod nazwą On the Dot (angielski idiom z „kropką”, znaczący „punktualnie”). Startowałem w tej imprezie, więc po powrocie zaszczepiłem zadanie u nas. Podobnie postąpili uczestnicy z innych krajów i tak zaczął się „podbój świata” przez nową łamigłówkę. Podbój skuteczny, ale w porównaniu z późniejszą epidemią sudoku jednak niszowy.

Zasady pokropki można podać bez kropki, czyli w jednym zdaniu:

połącz niektóre kropki linią łamaną zamkniętą (pętlą), biegnącą niebieskimi korytarzami i nie goszczącą dwukrotnie w żadnej kropce, korzystając z cyfrowych podpowiedzi – każda cyfra oznacza, przez ile boków kratki z tą cyfrą powinna przebiegać łamana.

Jeśli pofolgować fantazji, reguły można przedstawić bardziej realistycznie. Wyobraźmy sobie, że diagram jest planem krzyżujących się ulic, na którym cyframi zaszyfrowano trasę okrężną, czyli pętlę autobusu turystycznego. Należy ją ujawnić, wiedząc, że cyfra umieszczona w danym kwartale oznacza, wzdłuż ilu jego boków przejeżdża autobus, który ponadto na żadnym skrzyżowaniu nie pojawia się dwukrotnie. Gwoli jasności, na rys. 1 podany jest przykład oraz pokropka z mistrzostw świata w Stambule – pierwsza, która przekroczyła granice Kraju Kwitnącej Wiśni. Jest dość trudna; na mistrzostwach najlepszym, którzy po raz pierwszy zetknęli się z zadaniem tego rodzaju, rozwiązanie zajęło około 10 minut. Między innymi dlatego, że nie znali przynajmniej kilku prostych schematów jego rozwiązywania, więc sami musieli je odkrywać. Właśnie dzięki tym schematom, choć nie tylko dlatego, pokropka trafiła w kilku krajach na lekcje matematyki. Chodziło o tzw. bliską logikę, czyli proste wnioskowanie z położenia niektórych pojedynczych cyfr lub grup cyfr (zwykle par) o fragmentach pętli albo o ich braku w określonych miejscach.

Kilka elementarnych schematów (czerwone oznaczenia) przedstawionych jest na rys. 2: a – schemat trywialny – brak linii wokół zera (krzyżyki); b – 1, 2 i 3 w rogu skutkuje wykluczeniem lub zaznaczeniem niektórych fragmentów; c – 0 i 3 obok siebie w rzędzie lub na przekątnej to kilka jednoznacznych fragmentów linii i pustych miejsc; d – dwie trójki po sąsiedzku – podobnie jak w przypadku c; e – 1 i 3 obok siebie przy brzegu pozwalają oznaczyć jeden odcinek i wykluczyć dwa fragmenty.

Podstawę wszystkich schematów stanowi prosty wniosek, wynikający z faktu, że rozwiązaniem jest pętla: z każdej kropki mogą i powinny wychodzić tylko dwa odcinki albo żaden. Ćwiczenia na lekcjach polegały m.in. na ustalaniu tych i bardziej złożonych schematów dla więcej niż dwu cyfr. Trzy proste przykłady z trzema cyframi przedstawiono na rys. 3 – w każdym układzie trzeba oznaczyć wszystkie fragmenty, które obejmie pętla oraz przekreślić te, które znajdą się poza nią.

Proste schematy-pewniaki stanowią zachętę do rozwiązywania. Występują w każdej porządnej pokropce i od nich się zaczyna, ale dalej pojawiają się logiczne schodki i schody. Z reguły należy coś zakładać, a potem sprawdzać, co wynika z tego założenia (jeżeli…, to…). Ten proces przypomina dowodzenie twierdzeń, co także uzasadnia obecność pokropki na lekcjach matematyki. W zadaniu na rys. 4 wszystkie elementarne schematy spośród występujących na rys. 2 są już oznaczone. Dalej trzeba główkować, co nie zawsze bywa proste, bo autobusowa pętla jest chytrze zaszyfrowana.

Inny aspekt matematyczny pokropki wiąże się z topologią. Rozwiązaniem zadania jest linia łamana zamknięta zwana w matematyce krzywą Jordana. To każda ciągła linia zamknięta, która nie przecina samej siebie. Dotyczy jej następujące twierdzenie: każda płaska krzywa Jordana dzieli płaszczyznę na dwa obszary – wewnętrzny i zewnętrzny.

Może dziwić, że coś tak oczywistego ma formę twierdzenia, ale w matematyce nierzadko to, co wydaje się oczywiste, wymaga dowodu, a w tym przypadku – wbrew pozorom – nie jest to wcale łatwe. Za pierwszy poprawny uznany został dowód sformułowany dopiero w 1905 roku przez amerykańskiego matematyka Oswalda Veblena. Później pojawiały się inne, elegantsze, a ostatni, z 2005 roku, z wykorzystaniem systemu automatycznego dowodzenia twierdzeń Mizar, jest dziełem polsko-japońskiego zespołu.

W matematyce popularnej krzywa Jordana przedstawiana jest zwykle jako linia wielokrotnie powyginana i ściśnięta tak, że otoczony nią obszar nie jest wyraźnie widoczny, jeśli się go jakoś nie oznaczy, np. kolorem. Najczęściej taki obrazek wiąże się z zagadką polegającą na ustaleniu, czy jakiś obiekt umieszczony w tym kłębowisku znajduje się wewnątrz czy na zewnątrz krzywej.

Pokropkowym odpowiednikiem takiej zagadki może być krzywa Jordana, stanowiąca rozwiązanie zadania na odpowiednio dużym diagramie, np. 20×20 (rys. 5). W tym przypadku wskazanie, czy guzik z pętelką jest w jej wnętrzu, czy poza nią, jest proste. W trudniejszych zagadkach tego rodzaju, gdy krzywa Jordana jest bardzo „skłębiona”, sprytne rozwiązanie polega na poprowadzeniu linii od obiektu na zewnątrz kłębowiska i policzeniu, ile razy linia ta przecina krzywą Jordana. Jeśli liczba przecięć jest parzysta, to obiekt leży… na zewnątrz czy wewnątrz krzywej?

Ze względu na zawiły kształt krzywej Jordana, będącej rozwiązaniem pokropki, warto w trakcie rozwiązywania uważać, aby przedwcześnie w jakimś miejscu nie zamknąć linii, bo wówczas pojawią się dwa wnętrza, czyli dwie pętle zamiast jednej albo dodatkowa łamana niezamknięta. Przy rozwiązywaniu można także wykorzystać podane wyżej twierdzenie Jordana. Wynika z niego, że każda kratka diagramu musi leżeć albo wewnątrz, albo na zewnątrz krzywej. Jeśli zatem dwie kratki rozdziela linia, to jedna z nich znajdzie się wewnątrz, a druga na zewnątrz. Jeżeli natomiast w korytarzu między kratkami linia zostanie wykluczona, to obie znajdą się w tym samym obszarze. Oznaczanie różnymi kolorami kratek wewnętrznych i zewnętrznych ułatwia czasem rysowanie pętli. Pomocna może być także informacja, że każda linia równoległa do brzegów diagramu, przechodząca przez środki kratek, zawsze przetnie pętlę parzystą liczbę razy.

W Internecie stron z pokropkami jest sporo. Najwięcej pojawia się po wpisaniu w wyszukiwarce slitherlink. Innych nazw jest mnóstwo, np. fences, number line, takegaki, loop the loop, dotty dilemma, nie wspominając o innych różnojęzycznych określeniach, które bywają dość osobliwe (np. kitajskaja stiena po rosyjsku). Natomiast warianty pokropki, choć jest ich kilkanaście, są nie tylko w sieci łamigłówkowymi rodzynkami – goszczą czasem na turniejach i w pismach specjalistycznych. Jeden z najciekawszych można by nazwać pokropką Jordana, bo reguły są uzupełnione warunkiem nawiązującym do podanego wyżej twierdzenia: cyfry wewnątrz łamanej, stanowiącej rozwiązanie, oznaczają to, co zwykle, natomiast te, które znajdują się na zewnątrz niej, oznaczają coś dokładnie odwrotnego, czyli przez ile boków kratki z daną cyfrą łamana nie przechodzi. Ustalanie, czy cyfra jest wewnątrz, czy na zewnątrz pętli (poza zerami i czwórkami, o których wiadomo, gdzie się znajdą), przy równoczesnym oznaczaniu przebiegu tejże pętli, stanowi więc dodatkowy orzech do zgryzienia. Przykład na rys. 6 jest uzupełniony łamigłówką treningową przed rozwiązywaniem zadań konkursowych – czterech różnych wariantów pokropki.

Autor: Marek Penszko

Źródło: http://www.swiatnauki.pl/8,1556.html

Komentarze

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hi outstanding website! Does running a blog such as this take a large amount of <br> <br> work? I have absolutely no understanding of programming but I <br> <br> had been hoping to start my own blog soon. Anyways, if you have any recommendations or <br> <br> tips for new blog owners please share. I know this is off subject however I just wanted to ask.<br> <br> Thank you!<br> <br> <br> <br> My website :: <a href="https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/">free the vbucks</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hi there, just wanted to tell you, I liked this blog post.<br> <br> <br> <br> It was inspiring. Keep on posting!<br> <br> <br> <br> My web-site :: free vbucks generator - https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
This is a very good tip especially to those new to the blogosphere.<br> <br> Simple but very precise information… Many thanks for sharing this one.<br> <br> <br> <br> A must read article!<br> <br> <br> <br> Look at my web-site ... <a href="https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/">free the vbucks</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hello, after reading this remarkable article <br> <br> i am too cheerful to share my familiarity here with colleagues.<br> <br> <br> <br> <br> <br> Here is my web site; v bucks free generator - https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Excellent blog right here! Additionally your website quite a bit up fast!<br> <br> What host are you using? Can I am getting your associate hyperlink on your host?<br> <br> I wish my site loaded up as fast as yours lol<br> <br> <br> <br> Also visit my site <a href="https://biglink.to/free-daily-spins-coin-master-xka">free spins coin master</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
It's remarkable for me to have a web page, which is useful in favor of my know-how.<br> <br> <br> <br> thanks admin<br> <br> <br> <br> Look at my web-site ... free the vbucks - https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Highly energetic article, I loved that a lot.<br> <br> Will there be a part 2?<br> <br> <br> <br> Here is my homepage :: <a href="https://biglink.to">free coinmaster spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Wow, this article is fastidious, my sister is analyzing these kinds of <br> <br> things, thus I am going to tell her.<br> <br> <br> <br> Have a look at my blog free the vbucks - https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Ahaa, its good discussion regarding this article <br> <br> here at this web site, I have read all that, so now me also commenting here.<br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> Feel free to surf to my web site ... <a href="https://www.startus.cc/people/pokemon-go_hack-spoofer-generator">how to do pokemon go hack</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Way cool! Some extremely valid points! I appreciate you penning this post and the rest of the website is also really good.<br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> Visit my site ... free coinmaster spins - https://biglink.to/coin-master-free-spins-link-no-verification-xka

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Admiring the time and effort you put into your website and detailed information you provide.<br> <br> It's nice to come across a blog every once in a while that <br> <br> isn't the same outdated rehashed material. Fantastic <br> <br> read! I've saved your site and I'm adding your RSS feeds to my Google account.<br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> Here is my blog post; <a href="https://biglink.to/">free coinmaster spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Yes! Finally someone writes about free coin master spins.<br> <br> <br> <br> <br> <br> Also visit my web blog; free spins coin master - https://biglink.to/coin-master-free-spins-link-today-xka

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
This blog was... how do I say it? Relevant!!<br> <br> <br> <br> Finally I have found something which helped me.<br> <br> Thank you!<br> <br> <br> <br> Here is my website; <a href="https://biglink.to/coin-master-free-spins-hack-xka">free coin master spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
This is a topic which is close to my heart... Best wishes!<br> <br> Exactly where are your contact details though?<br> <br> <br> <br> Here is my site :: free coinmaster spins - https://biglink.to/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Pretty! This has been an extremely wonderful post. Thanks for providing this information.<br> <br> <br> <br> Look at my web blog <a href="https://biglink.to/coin-master-daily-free-spins-link-xka">coin master free spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
We're a gaggle of volunteers and opening a brand new scheme <br> <br> in our community. Your site provided us with valuable information to work on. You have performed an impressive job and our entire community might be grateful to you.<br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> <br> Also visit my web blog - <a href="https://biglink.to/">free spins coin master</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
What's up to all, the contents existing at this web <br> <br> site are genuinely awesome for people experience, well, keep up <br> <br> the nice work fellows.<br> <br> <br> <br> Look into my blog: free coin master spins - <br> <br> https://biglink.to/coin-master-free-coins-xka

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
whoah this weblog is fantastic i like reading your posts.<br> <br> Stay up the great work! You understand, a lot of persons are searching round for this <br> <br> information, you can aid them greatly.<br> <br> <br> <br> My page :: <a href="https://biglink.to/avast-driver-updater-key-serialkey-activationkey-keygen">avast driver updater serial key</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Thank you for another excellent post. The place <br> <br> else may anybody get that kind of info in such a perfect way of writing?<br> <br> I have a presentation next week, and I am on the look for <br> <br> such info.<br> <br> <br> <br> Feel free to surf to my web site <a href="https://biglink.to/">free coin master spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hey are using Wordpress for your site platform? I'm new to the blog world but I'm trying to <br> <br> get started and create my own. Do you require any coding expertise to <br> <br> make your own blog? Any help would be really appreciated!<br> <br> <br> <br> <br> <br> My webpage; free vbucks - https://biglink.to/v-bucks-generator-free-vbucks-codes-ps4-android-ios2020

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I will right away snatch your rss feed as I can not to find your <br> <br> email subscription link or newsletter service. Do you've any?<br> <br> <br> <br> Please let me realize so that I could subscribe.<br> <br> Thanks.<br> <br> <br> <br> My webpage ... free robux no human verification - https://www.ccab.org/sites/default/files/webform/nes-free-robux-no-survey-991.pdf

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
This post is worth everyone's attention. How can I find out more?<br> <br> <br> <br> <br> <br> Also visit my website - <a href="https://biglink.to/free-avast-internet-security-licensekey-serialkey-activationcode-keygen2020">avast internet security keygen</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Very soon this web page will be famous amid <br> <br> all blogging people, due to it's pleasant content<br> <br> <br> <br> Also visit my web site - <a href="https://biglink.to/coin-master-free-spins-link-blogspot-xka">free coinmaster spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
In fact no matter if someone doesn't understand afterward its up to other users that they will help, so here it happens.<br> <br> <br> <br> <br> <br> my blog post; free spins coin master - https://biglink.to/free-daily-spins-coin-master-xka

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
My partner and I stumbled over here by a different web address and thought I might check things out.<br> <br> I like what I see so now i am following you. Look forward to exploring your web page <br> <br> yet again.<br> <br> <br> <br> My site; <a href="https://biglink.to/how-to-get-free-spins-on-coin-master-xka">free coin master spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I believe what you posted made a bunch of sense. However, what about this?<br> <br> suppose you composed a catchier title? I ain't suggesting <br> <br> your content isn't good, but what if you added a headline that makes people desire more?<br> <br> I mean Dodaj komentarz | e-magnes.pl : Technologie <br> <br> is kinda plain. You might glance at Yahoo's home page and <br> <br> watch how they create news titles to get people to click.<br> <br> You might add a video or a pic or two to get people excited about everything've written. In my opinion, it could bring your posts a little livelier.<br> <br> <br> <br> <br> <br> Also visit my homepage ... <a href="https://biglink.to/">free coin master spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hello there! I know this is kinda off topic nevertheless I'd figured <br> <br> I'd ask. Would you be interested in trading links or maybe guest writing <br> <br> a blog article or vice-versa? My website addresses a lot of the same <br> <br> topics as yours and I feel we could greatly benefit from each other.<br> <br> If you might be interested feel free to shoot me an email.<br> <br> I look forward to hearing from you! Terrific blog by the way!<br> <br> <br> <br> <br> <br> Here is my page - coin master free spins and coins <br> <br> - https://biglink.to/coin-master-free-spins-hack-generator2020

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I read this paragraph fully on the topic of the difference of latest and previous technologies, <br> <br> it's remarkable article.<br> <br> <br> <br> Also visit my site :: free v bucks - https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
It's a shame you don't have a donate button! I'd definitely donate to this superb blog!<br> <br> I guess for now i'll settle for book-marking and adding your RSS feed to my Google account.<br> <br> I look forward to brand new updates and will share this <br> <br> website with my Facebook group. Chat soon!<br> <br> <br> <br> Stop by my homepage: <a href="https://www.startus.cc/people/pokemon-go_hack-spoofer-generator">hacked pokemon go</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
https://matrix.berkeley.edu/sites/default/files/applications/35duDanY-FreE-rOBuX-GEnerator-RoBUX- free - <br> <br> https://oncofertility.northwestern.edu/sites/oncofertility/files/webform/75zoMuK-fREE-ROBux-GeNERAToR-rOBuX-FrEe-CoDes-GenerAtoR-MaCKENZIe228.pdf -COdES-GEnERATOr-WInIFRED2547.pdf

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
You really make it seem so easy with your presentation but I find this topic to be actually something which I <br> <br> think I would never understand. It seems too complex and very broad for me.<br> <br> I'm looking forward for your next post, <br> <br> I'll try to get the hang of it!<br> <br> <br> <br> My web page <a href="https://biglink.to/coin-master-free-spins-link-today-xka">free coin master spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
May I simply say what a relief to find an individual who actually understands <br> <br> what they are talking about online. You certainly realize <br> <br> how to bring an issue to light and make it important.<br> <br> More and more people ought to check this out and understand this side of <br> <br> the story. I can't believe you aren't more popular because <br> <br> you most certainly have the gift.<br> <br> <br> <br> Feel free to surf to my web site free coin master spins - https://biglink.to/daily-free-spins-coin-master-xka

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
It's not my first time to visit this web site, i <br> <br> am browsing this website dailly and get good data <br> <br> from here all the time.<br> <br> <br> <br> Also visit my web page <a href="https://biglink.to/coin-master-daily-free-spins-link-xka">free coinmaster spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I really like it whenever people get together and share opinions.<br> <br> <br> <br> Great blog, stick with it!<br> <br> <br> <br> My web page :: <a href="https://biglink.to">free spins coin master</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Can I simply say what a comfort to find a person that truly understands what they're talking about on the net.<br> <br> You certainly understand how to bring a problem to light and make it important.<br> <br> More people have to look at this and understand this side of <br> <br> the story. I was surprised that you are not more popular because you certainly possess the gift.<br> <br> <br> <br> <br> <br> Review my web site ... free coinmaster spins - https://biglink.to/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I've been exploring for a bit for any high-quality articles or blog posts on this sort of house <br> <br> . Exploring in Yahoo I eventually stumbled <br> <br> upon this site. Studying this info So i am glad to exhibit that I have a very just right uncanny feeling I <br> <br> discovered exactly what I needed. I most no doubt will make certain to don?t forget this web site and <br> <br> provides it a look regularly.<br> <br> <br> <br> Visit my web-site ... <a href="https://biglink.to/coin-master-free-spins-hack-generator2020">coinmaster hack</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hello, i feel that i noticed you visited my website so i got here to go back the favor?.I am attempting to to find issues to <br> <br> enhance my web site!I guess its good enough to use <br> <br> some of your ideas!!<br> <br> <br> <br> my web-site v bucks free generator - https://free-the-vbucks-generator.odoo.com/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hey! I know this is somewhat off topic but I was wondering if you knew where I could find a captcha plugin for my comment form?<br> <br> I'm using the same blog platform as yours and I'm having trouble finding <br> <br> one? Thanks a lot!<br> <br> <br> <br> my blog: <a href="https://trustees.duke.edu/sites/default/files/webform/nominations/cronox-1234-diet-drops-dubax143_0.pdf">weight loss diet</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hi! This post could not be written any better!<br> <br> Reading through this post reminds me of my good old room mate!<br> <br> <br> <br> He always kept chatting about this. I will forward this write-up to him.<br> <br> Fairly certain he will have a good read. Many <br> <br> thanks for sharing!<br> <br> <br> <br> my webpage :: <a href="https://biglink.to/coin-master-hack-free-spins-tricks-cheats-karten-deutsch-kostenlos">coin master mod apk</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
There is definately a lot to find out about this subject.<br> <br> I like all the points you have made.<br> <br> <br> <br> my site - avast internet security serial key - https://biglink.to/free-avast-internet-security-licensekey-serialkey-activationcode-keygen2020

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I have been surfing online more than three <br> <br> hours today, yet I never found any interesting article like yours.<br> <br> It's pretty worth enough for me. Personally, if all web owners and bloggers made <br> <br> good content as you did, the internet will be much more useful than ever before.<br> <br> <br> <br> <br> <br> Also visit my site - <a href="https://biglink.to/free-coins-coin-master-xka">coin master free spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
This post gives clear idea in favor of the new visitors of blogging, that in fact how <br> <br> to do blogging.<br> <br> <br> <br> Also visit my web-site; <a href="https://biglink.to/avast-driver-updater-key-serialkey-activationkey-keygen">avast driver updater license key</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
These are really great ideas in regarding blogging. You <br> <br> have touched some nice factors here. Any way keep up wrinting.<br> <br> <br> <br> <br> <br> Also visit my site: <a href="https://biglink.to/coin-master-free-spins-link-no-verification-xka">free coin master spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I'm impressed, I must say. Rarely do I encounter a blog that's both equally educative and <br> <br> entertaining, and without a doubt, you have hit the nail on the head.<br> <br> The problem is something too few men and women are speaking intelligently about.<br> <br> I'm very happy I came across this in my hunt for something concerning this.<br> <br> <br> <br> <br> <br> my blog; free coin master spins - https://biglink.to/

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I'm really enjoying the design and layout of your site.<br> <br> It's a very easy on the eyes which makes it much more enjoyable for me to come here and visit more <br> <br> often. Did you hire out a developer to create your theme?<br> <br> Fantastic work!<br> <br> <br> <br> Feel free to surf to my homepage <a href="https://biglink.to/coin-master-free-daily-spins-xka">coin master free spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
magnificent submit, very informative. I wonder why the <br> <br> other experts of this sector do not notice this. You must continue your writing.<br> <br> I'm sure, you've a huge readers' base already!<br> <br> <br> <br> Here is my web-site - <a href="https://biglink.to/free-coin-master-xka">free coin master spins</a>

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Its not my first time to go to see this web page, i am visiting this web page dailly and take pleasant information from here everyday.<br> <br> <br> <br> <br> <br> my web site - netflix account generator free - https://biglink.to/freenetflixaccountgeneratorsrk

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
Hi there to all, it's actually a fastidious for me to <br> <br> visit this web page, it consists of priceless Information.<br> <br> <br> <br> Feel free to surf to my blog :: coin master <br> <br> free spins - https://biglink.to/coin-master-free-spins-hack-xka

Wysłane przez Anonim (niezweryfikowany) w
I'm truly enjoying the design and layout of your blog.<br> <br> It's a very easy on the eyes which makes it much more enjoyable for me to come here and visit more often. Did you hire out <br> <br> a developer to create your theme? Exceptional work!<br> <br> <br> <br> My blog ... free coinmaster spins - https://biglink.to/

Strony

Dodaj komentarz

CAPTCHA
Przepisz kod z obrazka.
5 + 9 =
Rozwiąż proszę powyższe zadanie matematyczne i wprowadź wynik.